《等比数列》教学设计

2021/4/17 18:06:00 手机版

  教学目标:

  知识与技能:

  1.通过类比,理解等比数列的概念并学会简单应用.

  2.通过类比,掌握等比中项的概念并会应用.

  3.通过类比,掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.

  过程与方法:探索并掌握等比数列的通项公式、性质,能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力;

  情感、态度与价值观:通过对有关实際问题的解决,充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣激发学生学习的兴趣。

  教学重点:等比数列的定义和通项公式.

  教学难点:掌握等比数列的通项公式,了解其推导过程

  课时:1个课时

  教学方法:类比教学,小组合作探究,讲练结合。

  教学过程:

  一、提出问题

  给出以下几组数列,将它们分类,说出分类标准.(幻灯片)

  ①-2,1,4,7,10,13,16,19,…

  ②8,16,32,64,128,256,…

  ③1,1,1,1,1,1,1,…

  ④243,81,27,9,3,1, , ,…

  ⑤31,29,27,25,23,21,19,…

  ⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…

  ⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,…

  ⑧0,0,0,0,0,0,0,…

  由学生发表意见(可能按项与项之间的.关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列,也可能分为等差、等比两类),统一一种分法,其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨,得出定义后再考察③是否为).

  二、讲解新课

  请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性,教师指出实际生活中也有许多类似的例子,如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫,再假设开始有一个变形虫,经过一个单位时间它分裂为两个变形虫,经过两个单位时间就有了四个变形虫,…,一直进行下去,记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性,这是我们将要研究的另一类数列——. (这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步)

  (板书)

  1.的定义(板书)

  根据与等差数列的名字的区别与联系,尝试给下定义.学生一般回答可能不够完美,多数情况下,有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出的定义,标注出重点词语.

  请学生指出②③④⑥⑦各自的公比,并思考有无数列既是等差数列又是.学生通过观察可以发现③是这样的数列,教师再追问,还有没有其他的例子,让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式,学生可能说形如 的数列都满足既是等差又是,让学生讨论后得出结论:当 时,数列 既是等差又是,当 时,它只是等差数列,而不是.教师追问理由,引出对的认识:

  2.对定义的认识(板书)

  (1)的首项不为0;

  (2)的每一项都不为0,即 ;

  问题:一个数列各项均不为0是这个数列为的什么条件?

  (3)公比不为0.

  用数学式子表示的定义.

  是 ①.在这个式子的写法上可能会有一些争议,如写成 ,可让学生研究行不行,好不好;接下来再问,能否改写为 是 ?为什么不能?

  式子 给出了数列第 项与第 项的数量关系,但能否确定一个?(不能)确定一个需要几个条件?当给定了首项及公比后,如何求任意一项的值?所以要研究通项公式.

  3.的通项公式(板书)

  问题:用 和 表示第 项 .

  ①不完全归纳法

  ②叠乘法,… , ,这个式子相乘得 ,所以 .

  (板书)(1)的通项公式

  得出通项公式后,让学生思考如何认识通项公式.

  (板书)(2)对公式的认识

  由学生来说,最后归结:

  ①函数观点;

  ②方程思想(因在等差数列中已有认识,此处再复习巩固而已).

  这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量,知三求一,这是公式最简单的应用,请学生举例(应能编出四类问题).解题格式是什么?(不仅要会解题,还要注意规范表述的训练)

  如果增加一个条件,就多知道了一个量,这是公式的更高层次的应用,下节课再研究.同学可以试着编几道题.

  1.本节课研究了的概念,得到了通项公式;

  2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比;

  3.用方程的思想认识通项公式,并加以应用.

  四、作业 (略)

  五、板书设计

  1.等比数列的定义

  2.对定义的认识

  3.等比数列的通项公式

  (1)公式

  (2)对公式的认识

  探究活动

  将一张很大的薄纸对折,对折30次后(如果可能的话)有多厚?不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米.

  参考答案:

  30次后,厚度为,这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度.如果纸再薄一些,比如纸厚0.001毫米,对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了.还记得国王的承诺吗?第31个格子中的米已经是1073741824粒了,后边的格子中的米就更多了,最后一个格子中的米应是 粒,用计算器算一下吧(用对数算也行).

 

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